Ludwig Wittgensteins Philosophie der Mathematik

Apr. 29, 2026

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Der Philosoph Ludwig Wittgenstein, der vor 75 Jahren starb (am 29. April 1951), ist vor allem durch seine Sprachanalyse bekannt geworden; der Tractatus logico-philosophicus (1921, hier TLP) ist sein bekanntestes Werk. Wittgenstein hat sich aber auch mit der Mathematik und ihrer Begründung in der Logik beschäftigt. Das war zu seiner Zeit ein „heißes“ Thema. Unterschiedliche Schulen erarbeiteten ganz verschiedene Ansätze.

Der Versuche, ein Fundament zu bauen

Grundlegungsprogramme der Mathematik sind zum Beispiel der Logizismus (Frege, Whitehead / Russell), Formalismus (Hilbert, von Neumann, Bernays), der Intuitionismus (Brouwer, Weyl, Heyting) und der Operationalismus (Lorenzen). Wittgensteins Auffassung in diesem Grundlagenstreit ergibt sich im Wesentlichen aus der Kritik an den anderen Positionen. Ihm geht es in seiner Metamathematik weniger um widerspruchsfreie Grundlegung, sondern vielmehr um die Grammatik mathematischer Aussagen: „Wozu braucht die Mathematik eine Grundlegung?! Sie braucht sie, glaube ich, ebenso wenig, wie die Sätze, die von physikalischen Gegenständen – oder die, welche von Sinneseindrücken handeln, eine Analyse. Wohl aber bedürfen die mathematischen, sowie jene anderen Sätze, eine Klarlegung ihrer Grammatik“.

Wittgenstein meint, dass logische Sätze das Gerüst der Welt darstellten und mathematische Sätze aus dem Weltbezug ihren Wert beziehen: „Im Leben ist es ja nie der mathematische Satz, den wir brauchen, sondern wir benützen den mathematischen Satz nur, um aus Sätzen, welche nicht der Mathematik angehören, auf andere zu schließen, welche gleichfalls nicht der Mathematik angehören“. Es geht ihm also um den Gebrauchs- und Verwendungscharakter der Mathematik, denn „nur im Gebrauch hat der Satz Sinn“, das Handeln liegt „am Grunde des Sprachspiels“. Aus der Verwendung ergibt sich dann auch die Verifikation, es erfolgt mit anderen Worten die „Bestätigung in der Verwendung“.

Sprache und Handlung – Mathe als „Praxis“

Mathematik ist also an und für sich sprachintern bestimmt und unabhängig von externen Faktoren, aber es geht ihr eine Handlungspraxis voraus und eine Verwendungspraxis folgt ihr. Wittgensteins Haltung erscheint hier ganz und gar anthropologisch-historisch. Seine Grundlegung ist der handelnde Mensch in seiner lebensweltlichen Situation; ohne ihn gäbe es keine Mathematik. In den Philosophischen Untersuchungen führt er aus: „Aber was würde nun das heißen: ‘Wenn alle Menschen glaubten, 2 x 2 sei 5, so wäre es doch 4.’ – Wie sähe denn das aus, wenn alle Menschen dies glaubten? – Nun, ich könnte mir etwa vorstellen, sie hätten einen anderen Kalkül, oder eine Technik, die wir nicht ‘rechnen’ nennen würden. Aber wäre das falsch?“ und direkt darauf: „Mathematik ist freilich, in einem Sinne, eine Lehre, – aber doch auch ein Tun.“ Menschen, die nicht handeln, haben nach Wittgenstein auch keine Mathematik (gegen den Logizismus), ebenso wenig die, welche nur Zeichen zu Papier bringen (gegen den Formalismus) oder bei denen sich alles nur in der Phantasie abspielt (gegen den Intuitionismus).

Damit ist Mathematik auch nicht für alle Zeiten bestimmt, sondern als Teil der Praxis, also verwoben mit anderen menschlichen Praktiken und mit dem Alltagsgebrauch unserer Sprache, wie Wittgenstein in seinen Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (BGM) ausführt. Sie ist Weiterentwicklungen, Veränderungen, Revisionen und Umformulierungen unterworfen. In Über Gewissheit (ÜG) bekräftigt er dazu: „Der mathematische Satz wurde durch eine Reihe von Handlungen erhalten, die sich in keiner Weise von Handlungen des übrigen Lebens unterscheiden und die gleichermaßen dem Vergessen, Übersehen, der Täuschung ausgesetzt sind“. Am Ende landet Wittgenstein also wieder bei der Logik der Sprache und beim Sprechakt.

Gewissheit und Widerspruch

Dass in der Mathematik Gewissheit erstrebenswert und Widersprüche möglichst zu vermeiden sind, hat Wittgenstein nicht bestritten, mehr hingegen kaum verlangt. Denn: 1. Absolute Gewissheit ist für Wittgenstein nicht möglich (gegen den Logizismus), soweit Mathematik auf der kommunikativen Ebene bleibt. 2. Widerspruchsfreiheit ist auch nicht möglich (gegen den Formalismus). 3. Beides (Gewissheit und Widerspruchsfreiheit) ist für die Mathematik und den dort Tätigen von großer Bedeutung, jedoch keine conditio sine qua non; die Lösung liegt im kritischen Zweifel und dem Hinnehmen von Widersprüchen als unumgängliche Bestandteile des mathematischen Handelns. 4. Der Schlüssel zum Gewissheits- und Widerspruchsbegriff ist der Mensch (anthropologisch-historischer Ansatz).

Wittgenstein verortet die Gewissheit in der Mathematik beim Regelfolgen, beim Umformen mathematischer Sätze, beim logischen Schließen: „Die Schritte, welche man nicht in Frage zieht, sind logische Schlüsse. Aber man zieht sie nicht darum nicht in Frage, weil sie ‘sicher der Wahrheit entsprechen’ – oder dergleichen -, sondern, dies ist eben, was man ‘Denken’, ‘Sprechen’, ‘Schließen’, ‘Argumentieren’ nennt.“ Er meint damit, dass die Instanz, die unser Denken in Frage stellen könnte, unser Denken selbst ist. Diese Selbstbezüglichkeit macht den Zugriff auf das Denken selbst unmöglich und es ist schwer möglich, die Logik als Ausdruck des Denkens zu hintergehen. So werden wir uns mit uns selber einig, die Sätze der Logik als gewiss anzunehmen. Bereits im Tractatus nennt er die Sätze der Logik Tautologien, deren Wahrheit gewiss ist.

Meta und Meta-Meta

Es geht in der Philosophie der Mathematik oder „Metamathematik“ damit „nur noch“ um die Klärung der Grammatik dessen, was wir in der reinen Mathematik, jenem von der Realität unabhängigen Symbolismus, behandeln. Gewissheit ist somit grammatischer, normativer Natur, die darauf beruht, dass wir die grammatisch klaren Symbole als Normen der Darstellung nutzen, um die Grenze des Sinns festzulegen. Das ist Wittgensteins Botschaft an die Mathematiker. Der Versuch, in der Metamathematik nach „absoluten“ Grundlagen der Mathematik zu suchen, fällt dabei durch den Rost. Er hat für Wittgenstein keinen Sinn. Das ist seine Botschaft an die Philosophen, die über diese Grundlagen nachdenken. Die Logik der Mathematik, der Metamathematik und auch der Schlussfolgerung Wittgensteins in seiner „Meta-Metamathematik“ (dem kritisch-ablehnenden Urteil über die anderen Grundlegungsprogramme) werden nicht von absoluter Gewissheit, sondern von korrekt angewandter Grammatik bestimmt. Vom Wahrheitsanspruch bleibt das Regelwerk des Sprachspiels. Das gilt – wie angedeutet – auch für Wittgensteins Arbeiten selbst.

Ludwig Wittgenstein hatte mit seinen Arbeiten zur Philosophie der Mathematik einen großen Einfluss auf das Selbstverständnis der Mathematik. Sein Fokus auf Sprache, Handlung und Konvention eröffnete neue Zugänge zum Verständnis und auch zur Didaktik der Mathematik.

Quellen:

Wittgenstein, L. (1984), Werkausgabe in 8 Bänden, hg. v. Anscombe, G.E.M., Rhees, R., v. Wright, G.H., Frankfurt a.M.; Band 1: Tractatus logico-philosophicus (TLP), Tagebücher 1914-1916, Philosophische Untersuchungen (PU), Band 2: Philosophische Bemerkungen (PB), Band 3: Wittgenstein und der Wiener Kreis (WWK), Band 4: Philosophische Grammatik (PG), Band 6: Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (BGM), Band 8: Über Gewißheit (ÜG).

Literatur:

Klenk,V.H. (1976), Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics, Den Haag.

Josef Bordat